铃、求和符号与求积符号

求和符号

求和符号长这样：$\sum$，读做 $\texttt{sigma}$ 。

这个符号由三个部分组成：$\sum\limits_{a}^bc$

其中 $a$ 和 $b$ 表示条件限制，$c$ 表示求和的内容。

或者，如果你想要严谨的定义：

给定一个数列 $\{a_n\}$，其中 $n\in \mathbb N$，那么我们就可以将有限和 $a_1+a_2+\cdots+a_k$ 写作：

$\sum_{i=1}^{k}a_i$

若 $k=0$，定义该和式的值为 $0$。

比如 $\sum\limits_{i=1}^ni^2$ 的意思就是：对于从 $1$ 到 $n$ 的每个 $i$，算一下 $i^2$ 的值，并把它们全都加起来。

其实就是 $1^2+2^2+\cdots+n^2$，只不过把中间的 $\cdots$ 改成了一个简单的符号而已qwq。

用代码表示一下，就是：

int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)sum+=i*i;

最后算出来的 $\texttt{sum}$ 的值就是这个表达式的值。

再比如，$\sum\limits_{i=1}^ni=\dfrac{n(n+1)}{2}$，$\sum\limits_{i=1}^ni^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$，$\sum\limits_{i=1}^n\left(4i^3\cdot\left\lceil\dfrac{n}{i}\right\rceil+\dfrac{3}{i^2}+i^{114514}\right)=\text{我不会算qwq}$。

其中条件限制不一定非要是从多少多少到多少多少这种，也可以是：

$\sum_{d|n}d^2$

这种就表示：对于所有满足 $d|n$ 的 $d$，算一下 $d^2$ 的值，最后加起来。

如果你并不是很熟悉求和符号，那么可以化简几个式子来熟悉一下这个小可爱：

$\sum_{k=1}^n(4k+7)\\ \sum_{k=1}^n(2^k+k)\\ \sum_{k=1}^nk3^k\\ \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}\\ \sum_{1\le i<j\le n}i\cdot j\\$

求和符号嵌套

求和符号也可以嵌套，比如：

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ma_ib_j$

就表示：

int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        sum+=a[i]*b[j];

或者是：

$\sum_{i=1}^n\left(a_i\cdot\sum_{j=1}^ij^2\right)$

就表示：

int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
    int tmp=0;
    for(int j=1;j<=i;j++)tmp+=j*j;
    sum+=tmp;
}

当然你也可以写出更多的例子qwq。

（其实这会「求和符号」的优势就体现出来了qwq，如果把这种多重嵌套的式子用 $\cdots$ 写，直接就麻烦到爆炸啦>_<）

交换求和顺序

一个最常见的操作qwq。

其实就是下面四个式子的互相转化：

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ma_ib_j=\sum_{i=1}^n\left(a_i\cdot\sum_{j=1}^mb_j\right)=\sum_{j=1}^m\left(b_j\cdot\sum_{i=1}^na_i\right)=\left(\sum_{i=1}^na_i\right)\cdot\left(\sum_{j=1}^mb_j\right)$

本质上就是个提取公因式。

交换求和顺序是一个非常有用的操作，有时候交换完求和顺序再化简之后的式子会带来意想不到的惊喜哦qwq！

求积符号

求积符号长这样：$\prod$ 。

求积符号和求和符号基本一样，比如 $\prod\limits_{i=1}^ni=n!$，$\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n(i+j)=\prod\limits_{i=1}^{n}i^{i-1}\cdot\prod\limits_{i=n+1}^{2n}i^{2n+1-i}$ 之类，就不多说了吧qwq。

一、多项式基本定义

多项式

（这其实是初一上学期学的东西啊.jpg）

一个关于 $x$ 的多项式可以写作：

$A(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i$

一般来说，我们认为 $a_i\in \mathbb R$。

多项式的次数被定义为多项式的最高次项的次数，记作 $\deg A$。

多项式的加减运算

设 $A(x)$ 和 $B(x)$ 是次数不超过 $n$ 的多项式。

那么多项式的加减法被定义为：

$A(x)\pm B(x)=\sum_{i=0}^n(a_i\pm b_i)x^{i}$

显然，计算两个多项式的和/差是 $O(n)$ 的，也至少是 $O(n)$ 的。

没了？没了。

至少，目前为止，只需要用到这么多。

如果需要用到其他的定义，会在文章相应章节中补充qwq。